回路計算を行う際、Fマトリクスで縦続接続した回路の計算をした後に、Sマトリクスに変換する等のマトリクス変換を用いることで計算を容易に行うことができる。ここでは、代表的なマトリクス変換の計算を紹介する。

1.FマトリクスからSマトリクスへの変換

　FマトリクスからSマトリクスへの変換式は以下のとおりである。

　　\(\displaystyle\rm S_{11}=\frac{A+\frac{B}{Z_{0}}-CZ_{0}-D}{A+\frac{B}{Z_{0}}+CZ_{0}+D}\)

　　\(\displaystyle\rm S_{12}=\frac{2(AD-BC)}{A+\frac{B}{Z_{0}}+CZ_{0}+D}\)

　　\(\displaystyle\rm S_{21}=\frac{2}{A+\frac{B}{Z_{0}}+CZ_{0}+D}\)

　　\(\displaystyle\rm S_{22}=\frac{-A+\frac{B}{Z_{0}}-CZ_{0}+D}{A+\frac{B}{Z_{0}}+CZ_{0}+D}\)

　FマトリクスからSマトリクスへの変換の詳細を下記に示す。
　まず、Fマトリクスは以下のとおりである。

\(\left[\begin{array}{c}V_{1} \\I_{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A & B\\C & D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V_{2} \\I_{2}\end{array}\right]\tag{1.1}\)

　次に、 Sマトリクスを表現する際に用いる前進波(入射波)a1、 a2と後進波(反射波)b1 、b2は以下のとおりである。

\(\displaystyle \rm a_{1}=\frac{V_{1}^{+}}{\sqrt{Z_{0}}}=I_{1}^{+}\sqrt{Z_{0}} \tag{1.2} \)

\(\displaystyle \rm a_{2}=\frac{V_{2}^{+}}{\sqrt{Z_{0}}}=I_{2}^{+}\sqrt{Z_{0}} \tag{1.3} \)

\(\displaystyle \rm b_{1}=\frac{V_{1}^{-}}{\sqrt{Z_{0}}}=I_{1}^{-}\sqrt{Z_{0}} \tag{1.4} \)

\(\displaystyle \rm b_{2}=\frac{V_{2}^{-}}{\sqrt{Z_{0}}}=I_{2}^{-}\sqrt{Z_{0}} \tag{1.5} \)

　(1.2)式～(1.5)式からV1、I1、V2、I2は下式で表される。
（I2はFマトリクスの定義上の向きに注意)

\(\displaystyle \rm V_{1}= V^{+} +V^{-}=\sqrt{Z_{0}}(a_{1}+b_{1}) \tag{1.6} \)

\(\displaystyle \rm I_{1} = I^{+} -I^{-} =\frac{1}{\sqrt{Z_{0}}}(a_{1}-b_{1}) \tag{1.7} \)

\(\displaystyle \rm V_{2}= V^{+} +V^{-}=\sqrt{Z_{0}}(a_{2}+b_{2}) \tag{1.8} \)

\(\displaystyle \rm I_{2} =- I^{+} +I^{-} =\frac{1}{\sqrt{Z_{0}}}(-a_{2}+b_{2}) \tag{1.9} \)

　(1.6)式～(1.9)式を(1.1)式に代入すると下式となる。

\(\displaystyle \rm \sqrt{Z_{0}}(a_{1}+b_{1}) = A\sqrt{Z_{0}}(a_{2}+b_{2}) + \frac{B}{\sqrt{Z_{0}}}(-a_{2}+b_{2}) \tag{1.10} \)

\(\displaystyle \rm \frac{1}{\sqrt{Z_{0}}}(a_{1}-b_{1}) = C\sqrt{Z_{0}}(a_{2}+b_{2}) + \frac{D}{\sqrt{Z_{0}}}(-a_{2}+b_{2}) \tag{1.11} \)

　(1.10)式、(1.11)式を整理していくと下記のとおりとなる。

\(\displaystyle \rm \sqrt{Z_{0}}b_{1}+(-A \sqrt{Z_{0}} – \frac{B}{\sqrt{Z_{0}}} )b_{2} = -\sqrt{Z_{0}}a_{1}+ (A \sqrt{Z_{0}} – \frac{B}{\sqrt{Z_{0}}} )a_{2} \tag{1.12} \)

\(\displaystyle \rm \frac{1}{\sqrt{Z_{0}}}b_{1}+(C \sqrt{Z_{0}} + \frac{D}{\sqrt{Z_{0}}} )b_{2} = \frac{1}{\sqrt{Z_{0}}}a_{1}+ (-C \sqrt{Z_{0}} + \frac{D}{\sqrt{Z_{0}}} )a_{2} \tag{1.13} \)

　さらに上式を行列式にして、Sマトリクスの定義式の形に整理すると、変換式が導かれる。

　(　A [\(=\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]\)] の逆行列A-1は \(\frac{1}{△}\left[\begin{array}{cc}d & -b\\-c & a \end{array}\right]\)となる。ここで、Δ=ad-bc。　）

　 \(\displaystyle\rm \left[\begin{array}{cc} \sqrt{Z_{0}} & -A \sqrt{Z_{0}} – \frac{B}{\sqrt{Z_{0}}} \\ \frac{1}{\sqrt{Z_{0}}} & C \sqrt{Z_{0}} + \frac{D}{\sqrt{Z_{0}}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b_{1} \\b_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -\sqrt{Z_{0}} & A \sqrt{Z_{0}} – \frac{B}{\sqrt{Z_{0}}} \\ \frac{1}{\sqrt{Z_{0}}} & -C \sqrt{Z_{0}} + \frac{D}{\sqrt{Z_{0}}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a_{1} \\a_{2}\end{array}\right]\)

　 \(\displaystyle\rm \left[\begin{array}{c}b_{1} \\b_{2}\end{array}\right]=\frac{1}{△}\left[\begin{array}{cc} C \sqrt{Z_{0}} + \frac{D}{\sqrt{Z_{0}}} & A \sqrt{Z_{0}} + \frac{B}{\sqrt{Z_{0}}} \\ -\frac{1}{\sqrt{Z_{0}}} & \sqrt{Z_{0}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -\sqrt{Z_{0}} & A \sqrt{Z_{0}} – \frac{B}{\sqrt{Z_{0}}} \\ \frac{1}{\sqrt{Z_{0}}} & -C \sqrt{Z_{0}} + \frac{D}{\sqrt{Z_{0}}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a_{1} \\a_{2}\end{array}\right]\)

　　　　 \(\displaystyle\rm =\left[\begin{array}{cc} \frac{A+\frac{B}{Z_{0}}-CZ_{0}-D}{A+\frac{B}{Z_{0}}+CZ_{0}+D} & \frac{2(AD-BC)}{A+\frac{B}{Z_{0}}+CZ_{0}+D} \\ \frac{2}{A+\frac{B}{Z_{0}}+CZ_{0}+D} & \frac{-A+\frac{B}{Z_{0}}-CZ_{0}+D}{A+\frac{B}{Z_{0}}+CZ_{0}+D}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a_{1} \\a_{2}\end{array}\right]\)

　ここで \(\displaystyle △=A+\frac{B}{Z_0}+CZ_0+D \) である。

2.SマトリクスからFマトリクスへの変換

　SマトリクスからFマトリクスへの変換式は以下のとおりである。

　　\(\displaystyle\rm A=\frac{(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}}{2S_{21}}\)

　　\(\displaystyle\rm B=\frac{Z_{0}\left\{(1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21}\right\}}{2S_{21}}\)

　　\(\displaystyle\rm C=\frac{(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}}{2S_{21}Z_{0}}\)

　　\(\displaystyle\rm D=\frac{(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}}{2S_{21}}\)

　SマトリクスからFマトリクスへの変換の詳細を下記に示す。
　まず、Sマトリクスは以下のとおりである。

\(\left[\begin{array}{c}b_{1} \\b_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}S_{11}& S_{12}\\S_{21} & S_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a_{1} \\a_{2}\end{array}\right]\tag{2.1}\)

　(1.6)式～(1.9)式を用いてa1、a2、b1、b2をV1、I1、V2、I2を用いて表すと以下のとおりとなる。

\(\displaystyle \rm a_{1}=\frac{V_{1} + Z_{0} I_{1}}{2\sqrt{Z_{0}}}\tag{2.2} \)

\(\displaystyle \rm b_{1}=\frac{V_{1} – Z_{0} I_{1}}{2\sqrt{Z_{0}}}\tag{2.3} \)

\(\displaystyle \rm a_{2}=\frac{V_{2} – Z_{0} I_{2}}{2\sqrt{Z_{0}}}\tag{2.4} \)

\(\displaystyle \rm b_{2}=\frac{V_{2} + Z_{0} I_{2}}{2\sqrt{Z_{0}}}\tag{2.5} \)

　(2.2)式～(2.5)式を(2.1)式に代入すると下式となる。

\(\displaystyle \rm \frac{V_1-Z_0I_1}{2\sqrt{Z_{0}}} =S_{11} \frac{V_1+Z_0I_1}{2\sqrt{Z_{0}}} + S_{12} \frac{V_2-Z_0I_2}{2\sqrt{Z_{0}}} \tag{2.6} \)

\(\displaystyle \rm \frac{V_2+Z_0I_2}{2\sqrt{Z_{0}}} =S_{21} \frac{V_1+Z_0I_1}{2\sqrt{Z_{0}}} + S_{22} \frac{V_2-Z_0I_2}{2\sqrt{Z_{0}}} \tag{2.7} \)

　(2.6)式、(2.7)式を整理していくと下記のとおりとなる。

\(\displaystyle \rm (1-S_{11})V_1+(-Z_0-S_{11}Z_0)I_1 =S_{12} V_2 + (-S_{12}Z_0)I_2 \tag{2.8} \)

\(\displaystyle \rm S_{21}V_1+S_{21}Z_0I_1 =(1-S_{22}) V_2 + (Z_0+S_{22}Z_0)I_2 \tag{2.9} \)

　さらに上式を行列式にして、Fマトリクスの定義式の形に整理すると、変換式が導かれる。

　 \(\displaystyle\rm \left[\begin{array}{cc} 1-S_{11} & -Z_{0}-S_{11}Z_0 \\ S_{21} & S_{21}Z_0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V_{1} \\I_{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} S_{12} & -S_{12}Z_0 \\ 1-S_{22} & Z_0+S_{22}Z_0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V_{2} \\I_{2}\end{array}\right]\)

　 \(\displaystyle\rm \left[\begin{array}{c}V_{1} \\I_{1}\end{array}\right]=\frac{1}{△}\left[\begin{array}{cc} S_{21}Z_0 & Z_{0}+S_{11}Z_0 \\ -S_{21} & 1-S_{11} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} S_{12} & -S_{12}Z_0 \\ 1-S_{22} & Z_0+S_{22}Z_0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V_{2} \\I_{2}\end{array}\right]\)

　　　　　\(\displaystyle\rm =\left[\begin{array}{cc} \frac{(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}}{2S_{21}} & \frac{Z_0 \left\{ (1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21} \right\} }{2S_{21}} \\ \frac{(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}}{2S_{21}Z_0} & \frac{(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}}{2S_{21}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V_{2} \\I_{2}\end{array}\right]\)

　ここで \(\displaystyle △=(1-S_{11})S_{21}Z_0+(Z_0+S_{11}Z_0)S_{21} \) である。