下図に示すような負荷インピーダンスZLに特性インピーダンスZ0の伝送線路が接続された場合の入力インピーダンスZINを求める。
ZINは、2.2項の(7.1)式、(7.2)式から下式で与えられる。
\(\displaystyle\rm Z_{IN}（z)=\frac{V(z)}{I(z)}=Z_{0}\frac{V_{+}e^{-\gamma z}+V_{-}e^{\gamma z}}{V_{+}e^{-\gamma z}-V_{-}e^{\gamma z}}=Z_{0}\frac{1+Γe^{2\gamma z}}{1-Γe^{2\gamma z}}\tag{1}\)
z＝0の場合、V(0)、I(0)は下式のとおりとなる。
\(\displaystyle\rm V(0)=V_{+}e^{-\gamma z}+V_{-}e^{\gamma z}=V_{+}+V_{-}=V_{+}(1+Γ)\tag{2.1}\)
\(\displaystyle\rm I(0)=\frac{1}{Z_{0}} (V_{+}e^{-\gamma z}-V_{-}e^{\gamma z})=\frac{1}{Z_{0}} (V_{+}-V_{-})=\frac{V_{+}}{Z_{0}} (1-Γ)\tag{2.2}\)
ZIN(0)は、(2.1)式、(2.2)式および負荷インピーダンスZLと等しくなることから、
\(\displaystyle\rm Z_{IN}(0)=\frac{V(0)}{I(0)}=Z_{0}\frac{1+Γ}{1-Γ}=Z_L\)となり、
反射係数Γは下式となる。
\(\displaystyle\rm Γ=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}\tag{3}\)
z＝-lの場合、V(-l)、I(-l)は下式のとおりとなる。
\(\displaystyle\rm V(-l)=V_{+}e^{-\gamma z}+V_{-}e^{\gamma z}=V_{+}e^{\gamma l}+V_{-}e^{-\gamma l}=V_{+}(e^{\gamma l}+Γe^{-\gamma l})\tag{4.1}\)
\(\displaystyle\rm I(-l)=\frac{1}{Z_{0}} (V_{+}e^{-\gamma z}-V_{-}e^{\gamma z})=\frac{1}{Z_{0}} (V_{+}e^{\gamma l}-V_{-}e^{-\gamma l})=\frac{V_{+}}{Z_{0}} (e^{\gamma l}-Γe^{-\gamma l})\tag{4.2}\)
(3)式、(4.1)式、(4.2)式より、ZIN(-l)は下式となる。
\(\displaystyle\rm Z_{IN}(-l)=Z_{0}\frac{1+Γe^{-2\gamma l}}{1-Γe^{-2\gamma l}}=Z_{0}\frac{1+\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}e^{-2\gamma l}}{1-\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}e^{-2\gamma l}}=Z_{0}\frac{e^{\gamma l}+\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}e^{-\gamma l}}{e^{\gamma l}-\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}e^{-\gamma l}}\)
\(\displaystyle\rm =Z_{0}\frac{(Z_{L}+Z_{0})e^{\gamma l}+(Z_{L}-Z_{0})e^{-\gamma l}}{(Z_{L}+Z_{0})e^{\gamma l}-(Z_{L}-Z_{0})e^{-\gamma l}}=Z_{0}\frac{Z_L+\frac{e^{\gamma l}-e^{-\gamma l}}{e^{\gamma l}+e^{-\gamma l}}Z_0}{Z_0+\frac{e^{\gamma l}-e^{-\gamma l}}{e^{\gamma l}+e^{-\gamma l}}Z_L}\)
\(\displaystyle\rm tanh(\gamma l)=\frac{e^{\gamma l}-e^{-\gamma l}}{e^{\gamma l}+e^{-\gamma l}}\)より、
\(\displaystyle\rm Z_{IN}(-l)=Z_{0}\frac{Z_L+tanh(\gamma l)Z_0}{Z_0+tanh(\gamma l)Z_L}\)
\(\displaystyle\rm \gamma=α+jβ\)であり、無損失の線路の場合\(\displaystyle\rm \gamma=jβ\)となる。これを上式に代入すると
\(\displaystyle\rm Z_{IN}(-l)=Z_{0}\frac{Z_L+tanh(jβl)Z_0}{Z_0+tanh(jβl)Z_L}\)
\(\displaystyle\rm tanh(jβl)=jtan(βl)\)より、下式となる。
\(\displaystyle\rm Z_{IN}(-l)=Z_{0}\frac{Z_L+jZ_0tan(βl)}{Z_0+jZ_Ltan(βl)}\tag{5}\)
次に(5)式で表される伝送線路のインピーダンスの特殊な例を紹介する。
①ZL=0の場合
ZL=0の場合、(5)式は以下のとおりとなる。
\(\displaystyle\rm Z_{IN}(-l)=Z_{0}\frac{Z_L+jZ_0tan(βl)}{Z_0+jZ_Ltan(βl)}= Z_{0}\frac{jZ_0tan(βl)}{Z_0} =jZ_0tan(βl)\tag{6}\)
マイクロ波回路において、ZL=0の回路はショートスタブとして増幅器のバイアス回路や整合回路等に用いられる。
②ZL=∞の場合
ZL=∞の場合、(5)式は以下のとおりとなる。
\(\displaystyle\rm Z_{IN}(-l)=Z_{0}\frac{Z_L+jZ_0tan(βl)}{Z_0+jZ_Ltan(βl)}= Z_{0}\frac{ 1+\frac{jZ_0tan(βl)}{Z_L}}{\frac{Z_0}{Z_L}+jtan(βl)} =- jZ_0\frac {1}{tan(βl)}=-jZ_0cot (βl) \tag{7}\)
マイクロ波回路において、ZL=∞の回路はオープンスタブとして 増幅器のバイアス回路や整合回路等 に用いられる。
③βl＝90°( θ＝90° )の場合
βl＝90° の場合、tan(90)＝∞であり、(5)式は以下のとおりとなる。
\(\displaystyle\rm Z_{IN}(-l)=Z_{0}\frac{Z_L+jZ_0tan(βl)}{Z_0+jZ_Ltan(βl)}= Z_{0}\frac{\frac{Z_L}{tan(90) }+jZ_0}{\frac{Z_0}{ tan(90)}+jZ_L} =\frac {Z_0^2}{Z_L}\tag{8}\)
マイクロ波回路において、 βl＝90° の回路はインピーダンス変成器として各種回路に用いられる。